|
Vyučující
|
-
Plachý Martin, RNDr. Ph.D.
-
Šmíd Jiří, PhD
|
|
Obsah předmětu
|
1. Spektrální teorie lineárních operátorů 2. Diferenciální počet v Banachových prostorech 3. Abstraktní věta o implicitní funkci 4. Teorie motonních operátorů 5. Kritické body funkcionálů 6. Analýza nekoercitivních operátorů 7. Brouwerův stupeň a teorie Leray-Schauderova stupně.
|
|
Studijní aktivity a metody výuky
|
Samostatná práce studentů
- Vypracování seminární práce v magisterském studijním programu [5-100]
- 50 hodin za semestr
- Příprava na zkoušku [10-60]
- 40 hodin za semestr
- Kontaktní výuka
- 65 hodin za semestr
|
| Předpoklady |
|---|
| Odborné znalosti |
|---|
| definovat a na příkladech vysvětlit pojmy otevřená, uzavřená množina, úplný prostor, kompaktní prostor, separabilní prostor, Banachův a Hilbertův prostor |
| definovat a uvést příklady kompaktního, duálního a samoadjungovaného operátoru |
| definovat duální prostor, reflexivní prostor, slabou konvergenci a zformulovat Eberleinovu-Šmuljanovu větu |
| definovat metrický, normovaný, unitární prostor a uvést jejich příklady |
| zavést ortonormální systém a Fourierovu řadu na Hilbertově prostoru |
| zavést prostor spojitě diferencovatelných funkcí, prostor spojitých funkcí s kompaktním nosičem, Sobolevovy prostory |
| zformulovat Rieszovu větu o reprezentaci spojitého lineárního funkcionálu |
| zformulovat větu o minimu kvadratického funkcionálu |
| define and explain with examples the notions of open set, closed set, complete space, compact space, separable space, Banach and Hilbert space |
| define and give examples of compact, dual and self-adjoint operators |
| define dual space, reflexive space, weak convergence and formulate the Eberlein-Smuljan theorem |
| define metric, normalized, unitary space and give their examples |
| introduce orthonormal system and Fourier series on Hilbert space |
| introduce space of continuously differentiable functions, the space of continuous functions with compact support, Sobolev spaces |
| formulate Riesz's theorem on representation of continuous linear functional |
| formulate the theorem on minimum of quadratic functional |
| Odborné dovednosti |
|---|
| dokázat, že vlastní čísla symetrického operátoru na Hilbertově prostoru jsou reálná a odpovídající vlastní vektory jsou kolmé |
| formulovat, dokázat a aplikovat Banachovu větu o kontrakci |
| zformulovat a dokázat Minkowského a Hölderovu nerovnost |
| zformulovat a dokázat Schwarzovu nerovnost |
| prove that the eigenvalues of the symmetric operator on the Hilbert space are real and the corresponding eigenvectors are orthogonal |
| formulate, prove and apply Banach's contraction theorem |
| formulate and prove Minkowski and Hölder inequalities |
| formulate and prove Schwarz's inequality |
| Obecné způsobilosti |
|---|
| mgr. studium: používají své odborné znalosti, odborné dovednosti a obecné způsobilosti alespoň v jednom cizím jazyce, |
| bc. studium: uplatňuje při řešení problémů vhodné metody a dříve získané vědomosti a dovednosti, kromě analytického a kritického myšlení využívá i myšlení tvořivé s použitím představivosti a intuice, |
| Výsledky učení |
|---|
| Odborné znalosti |
|---|
| definovat pojem spektra lineárního operátoru |
| definovat základní pojmy differenciálního počtu v Banachových prostorech |
| zformulovat abstraktní větu o implicitní funkci a vysvětlit její aplikace |
| definovat kritický bod, bod minima a maxima funkcionálu |
| definovat pojem motónního a koercitivního operátoru |
| define the concept of the spectrum of a linear operator |
| define the basic concepts of differential calculus in Banach spaces |
| formulate abstract version of the implicit function theorem and show some of its applications |
| define critical point, minimum and maximum of a functional |
| define the notion of a monotone and coercive operator |
| Odborné dovednosti |
|---|
| stanovit spektrum daného operátoru |
| vypočítat Fréchetovu a Gateauxovu derivaci daného zobrazení a funkcionálu |
| pro zadaný funkcionál stanovit kritické body a rozhodnout, zda se jedná o bod minima nebo maxima |
| aplikovat teorii motónních a nekoercitivních operátorů na praktické úlohy v oblasti ODR a PDR |
| vysvětlit pojem Brouwerův stupeň a Leray-Schauderův stupeň zobrazení |
| determine the spectrum of a given operator |
| calculate the Fréchet and Gateaux derivatives of a given mapping and a given functional |
| determine the critical points for a given functional and decide whether it is a minimum or maximum point |
| apply the theory of monotone and non-coercive operators to practical problems in ODR and PDR |
| explain the concept of Brouwer degree and Leray-Schauder degree of a map |
| Obecné způsobilosti |
|---|
| mgr. studium: plánují, podporují a řídí s využitím teoretických poznatků oboru získávání dalších odborných znalostí, dovedností a způsobilostí ostatních členů týmu, |
| mgr. studium: srozumitelně a přesvědčivě sdělují odborníkům i širší veřejnosti vlastní odborné názory, |
| bc. studium: samostatně získávají další odborné znalosti, dovednosti a způsobilosti na základě především praktické zkušenosti a jejího vyhodnocení, ale také samostatným studiem teoretických poznatků oboru, |
| Vyučovací metody |
|---|
| Odborné znalosti |
|---|
| Přednáška založená na výkladu, |
| Samostatná práce studentů, |
| Odborné dovednosti |
|---|
| Cvičení (praktické činnosti), |
| Řešení problémů, |
| Obecné způsobilosti |
|---|
| Řešení problémů, |
| Samostudium, |
| Hodnotící metody |
|---|
| Odborné znalosti |
|---|
| Kombinovaná zkouška, |
| Odborné dovednosti |
|---|
| Ústní zkouška, |
| Demonstrace dovedností (praktická činnost), |
| Obecné způsobilosti |
|---|
| Ústní zkouška, |
|
Doporučená literatura
|
-
Brezis, Haim. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. New York : Springer, 2011. ISBN 978-0-387-70913-0.
-
Drábek, Pavel; Kufner, Alois. Funkcionální analýza. 1. vyd. Plzeň : ZČU, 1994. ISBN 80-7082-145-0.
-
Kolmogorov, A. N.; Fomin, S.V. Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy. Vyd. 1. Praha : SNTL, 1975.
-
Kreyszig, Erwin. Introductory functional analysis with applications. Hoboken : John Wiley & Sons, 1989. ISBN 0-471-50731-8.
-
Rudin, Walter. Functional Analysis. 1991. ISBN 978-0-070-54236-5.
-
Schechter, Martin. Principles of Functional Analysis, Second Edition. Rhode Island, 2001. ISBN 1065-7339.
-
Taylor, Angus E. Úvod do funkcionální analýzy. Vyd. 1. Praha : Academia, 1973.
|