|
Lecturer(s)
|
|
|
|
Course content
|
1. Spectral theory of linear operators 2. Differential calculus in Banach spaces 3. Abstract implicit function theorem 4. Theory of monotone operators 5. Critical points of functionals 6. Analysis of noncoercive operators 7. Brouwer and Leray-Schauder degree
|
|
Learning activities and teaching methods
|
Individual study
- Graduate study programme term essay (40-50)
- 50 hours per semester
- Preparation for an examination (30-60)
- 40 hours per semester
- Contact hours
- 65 hours per semester
|
| prerequisite |
|---|
| Knowledge |
|---|
| definovat a na příkladech vysvětlit pojmy otevřená, uzavřená množina, úplný prostor, kompaktní prostor, separabilní prostor, Banachův a Hilbertův prostor |
| definovat a uvést příklady kompaktního, duálního a samoadjungovaného operátoru |
| definovat duální prostor, reflexivní prostor, slabou konvergenci a zformulovat Eberleinovu-Šmuljanovu větu |
| definovat metrický, normovaný, unitární prostor a uvést jejich příklady |
| zavést ortonormální systém a Fourierovu řadu na Hilbertově prostoru |
| zavést prostor spojitě diferencovatelných funkcí, prostor spojitých funkcí s kompaktním nosičem, Sobolevovy prostory |
| zformulovat Rieszovu větu o reprezentaci spojitého lineárního funkcionálu |
| zformulovat větu o minimu kvadratického funkcionálu |
| define and explain with examples the notions of open set, closed set, complete space, compact space, separable space, Banach and Hilbert space |
| define and give examples of compact, dual and self-adjoint operators |
| define dual space, reflexive space, weak convergence and formulate the Eberlein-Smuljan theorem |
| define metric, normalized, unitary space and give their examples |
| introduce orthonormal system and Fourier series on Hilbert space |
| introduce space of continuously differentiable functions, the space of continuous functions with compact support, Sobolev spaces |
| formulate Riesz's theorem on representation of continuous linear functional |
| formulate the theorem on minimum of quadratic functional |
| Skills |
|---|
| dokázat, že vlastní čísla symetrického operátoru na Hilbertově prostoru jsou reálná a odpovídající vlastní vektory jsou kolmé |
| formulovat, dokázat a aplikovat Banachovu větu o kontrakci |
| zformulovat a dokázat Minkowského a Hölderovu nerovnost |
| zformulovat a dokázat Schwarzovu nerovnost |
| prove that the eigenvalues of the symmetric operator on the Hilbert space are real and the corresponding eigenvectors are orthogonal |
| formulate, prove and apply Banach's contraction theorem |
| formulate and prove Minkowski and Hölder inequalities |
| formulate and prove Schwarz's inequality |
| Competences |
|---|
| N/A |
| N/A |
| learning outcomes |
|---|
| Knowledge |
|---|
| definovat pojem spektra lineárního operátoru |
| definovat základní pojmy differenciálního počtu v Banachových prostorech |
| zformulovat abstraktní větu o implicitní funkci a vysvětlit její aplikace |
| definovat kritický bod, bod minima a maxima funkcionálu |
| definovat pojem motónního a koercitivního operátoru |
| define the concept of the spectrum of a linear operator |
| define the basic concepts of differential calculus in Banach spaces |
| formulate abstract version of the implicit function theorem and show some of its applications |
| define critical point, minimum and maximum of a functional |
| define the notion of a monotone and coercive operator |
| Skills |
|---|
| stanovit spektrum daného operátoru |
| vypočítat Fréchetovu a Gateauxovu derivaci daného zobrazení a funkcionálu |
| pro zadaný funkcionál stanovit kritické body a rozhodnout, zda se jedná o bod minima nebo maxima |
| aplikovat teorii motónních a nekoercitivních operátorů na praktické úlohy v oblasti ODR a PDR |
| vysvětlit pojem Brouwerův stupeň a Leray-Schauderův stupeň zobrazení |
| determine the spectrum of a given operator |
| calculate the Fréchet and Gateaux derivatives of a given mapping and a given functional |
| determine the critical points for a given functional and decide whether it is a minimum or maximum point |
| apply the theory of monotone and non-coercive operators to practical problems in ODR and PDR |
| explain the concept of Brouwer degree and Leray-Schauder degree of a map |
| Competences |
|---|
| N/A |
| N/A |
| N/A |
| teaching methods |
|---|
| Knowledge |
|---|
| Lecture |
| Individual study |
| Skills |
|---|
| Practicum |
| Task-based study method |
| Competences |
|---|
| Task-based study method |
| Self-study of literature |
| assessment methods |
|---|
| Knowledge |
|---|
| Combined exam |
| Skills |
|---|
| Oral exam |
| Skills demonstration during practicum |
| Competences |
|---|
| Oral exam |
|
Recommended literature
|
-
Brezis, Haim. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. New York : Springer, 2011. ISBN 978-0-387-70913-0.
-
Drábek, Pavel; Kufner, Alois. Funkcionální analýza. 1. vyd. Plzeň : ZČU, 1994. ISBN 80-7082-145-0.
-
Kolmogorov, A. N.; Fomin, S.V. Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy. Vyd. 1. Praha : SNTL, 1975.
-
Kreyszig, Erwin. Introductory functional analysis with applications. Hoboken : John Wiley & Sons, 1989. ISBN 0-471-50731-8.
-
Rudin, Walter. Functional Analysis. 1991. ISBN 978-0-070-54236-5.
-
Schechter, Martin. Principles of Functional Analysis, Second Edition. Rhode Island, 2001. ISBN 1065-7339.
-
Taylor, Angus E. Úvod do funkcionální analýzy. Vyd. 1. Praha : Academia, 1973.
|