TÉMATICKÉ OKRUHY 1. Iterační metody pro nelineární rovnice a jejich soustavy Iterační metody pro nelineární rovnice a jejich soustavy. Metoda prosté iterace, podmínky konvergence, odhad chyby, rychlost konvergence. Newtonova metoda a její konvergence. 2. Iterační metody pro soustavy lineárních algebraických rovnic Stacionární iterační metody pro soustavy lineárních algebraických rovnic. Jacobiho a Gaussova-Seidelova metoda, SOR metoda. Nutná a postačující podmínka konvergence iterační metody, postačující podmínka konvergence iterační metody. 3. Přímé metody pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic Přímé metody pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Základní maticové rozklady. Existence a jednoznačnost trojúhelníkového rozkladu. Podmíněnost a stabilita trojúhelníkového rozkladu. Choleského rozklad, princip neúplné faktorizace. 4. Aproximace funkcí Základní aproximační úlohy. Aproximace Taylorovým polynomem, diskrétní L2 aproximace. Interpolace a extrapolace. Čebyševova aproximace. Diskrétní Fourierova transformace. 5. Numerické metody pro počáteční úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Počáteční úloha pro obyčejné diferenciální rovnice. Metody Taylorova typu. Lokální a globální diskretizační chyba. Explicitní a implicitní metody, jednokrokové a vícekrokové metody. Algoritmy typu prediktor-korektor. Stabilita, stiff systémy. Využití extrapolace pro odhad chyby metodou polovičního kroku a pro metody zpřesňování. Adaptivní techniky. 6. Metody pro soustavy lineárních algebraických rovnic se speciální maticí Metody pro soustavy lineárních algebraických rovnic se speciální maticí. Přímé a iterační metody. Stacionární a nestacionární metody. Gradientní metody. Metoda největšího spádu a její konvergence. Metoda sdružených gradientů a její konvergence. Metody pro soustavy s řídkou maticí. Předpodmínění. 7. Numerické metody pro řešení úloh na vlastní čísla Úloha na vlastní čísla a úloha singulárního rozkladu. Schurovo lemma, spektrální norma matice, spektrální číslo podmíněnosti, Geršgorinova věta, extremální vlastnosti vlastních čísel. Ortogonální rozklady matic. Metoda rovinné rotace, Householderova transformace. Singulární rozklad matice. Využití pro řešení nekonzistentních soustav lineárních algebraických rovnic. 8. Numerické metody pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic Řešitelnost soustavy lineárních algebraických rovnic. Podmínky řešitelnosti konzistentní soustavy. Nulový prostor a obor hodnot, báze nulového prostoru. Pseudořešení nekonzistentní soustavy, levostranná a pravostranná zobecněná inverzní matice, matice ortogonální projekce na lineární varietu.
|