|
Vyučující
|
-
Kroužecký Jan, Ing. Ph.D.
|
|
Obsah předmětu
|
1. Lineární prostor, metrika, norma na lineárním prostoru. 2. Skalární součin, unitární prostor, Schwarzova nerovnost. 3. Úplný metrický prostor, Banachův prostor. 4. Vnoření do úplného prostoru. Banachova věta o kontrakcích. 5. Základní prostory funkcí a posloupností. 6. Lineární funkcionály, duální prostor. 7. Slabá konvergence, reflexivní prostor. 8. Hilbertovy prostory, Rieszova věta. 9. Základní vlastnosti operátorů, lineární operátory. 10. Vlastní čísla a vlastní vektory, spektrum lineárního operátoru. 11. Adjungovaný operátor, kompaktní operátory. 12. Minimum kvadratického funkcionálu.
|
|
Studijní aktivity a metody výuky
|
Výuka podporovaná multimédii, Přednáška, Cvičení
- Kontaktní výuka
- 65 hodin za semestr
- Příprava na dílčí test [2-10]
- 10 hodin za semestr
- Příprava na zkoušku [10-60]
- 35 hodin za semestr
- Příprava na souhrnný test [6-30]
- 20 hodin za semestr
|
| Předpoklady |
|---|
| Odborné znalosti |
|---|
| definovat a vysvětlit základní pojmy diferenciálního a integrálního počtu funkce více proměnných (v rozsahu předmětu KMA/M2) |
| rozumět základním principům z oblasti obyčejných diferenciálních rovnic (počáteční a okrajové úlohy pro ODR 1. a 2. řádu, existence řešení, základní metody řešení) |
| rozumět základním principům z oblasti teorie funkčních řad |
| definovat a vysvětlit základní pojmy diferenciálního a integrálního počtu funkce jedné proměnné (v rozsahu předmětu KMA/M1) |
| Odborné dovednosti |
|---|
| spočítat parciální derivace a derivace podle vektoru funkcí více proměnných |
| vyřešit ODR 1. řádu se separovatelnými proměnnými |
| derivovat a integrovat funkce jedné proměnné |
| spočítat dvojný, příp. trojný integrál |
| vyřešit počáteční úlohy pro lineární ODR 1. a 2. řádu |
| Obecné způsobilosti |
|---|
| mgr. studium: samostatně získávají další odborné znalosti, dovednosti a způsobilosti na základě především praktické zkušenosti a jejího vyhodnocení, ale také samostatným studiem teoretických poznatků oboru., |
| Výsledky učení |
|---|
| Odborné znalosti |
|---|
| zformulovat Rieszovu větu o reprezentaci spojitého lineárního funkcionálu |
| definovat a uvést příklady kompaktního, duálního a samoadjungovaného operátoru |
| zavést ortonormální systém a Fourierovu řadu na Hilbertově prostoru |
| zformulovat větu o minimu kvadratického funkcionálu |
| definovat duální prostor, reflexivní prostor, slabou konvergenci a zformulovat Eberleinovu-Šmuljanovu větu |
| zavést prostor spojitě diferencovatelných funkcí, prostor spojitých funkcí s kompaktním nosičem, Sobolevovy prostory |
| definovat a na příkladech vysvětlit pojmy otevřená, uzavřená množina, úplný prostor, kompaktní prostor, separabilní prostor, Banachův a Hilbertův prostor |
| definovat metrický, normovaný, unitární prostor a uvést jejich příklady |
| Odborné dovednosti |
|---|
| formulovat, dokázat a aplikovat Banachovu větu o kontrakci |
| zformulovat a dokázat Schwarzovu nerovnost |
| dokázat, že vlastní čísla symetrického operátoru na Hilbertově prostoru jsou reálná a odpovídající vlastní vektory jsou kolmé |
| zformulovat a dokázat Minkowského a Hölderovu nerovnost |
| Obecné způsobilosti |
|---|
| mgr. studium: používají své odborné znalosti, odborné dovednosti a obecné způsobilosti alespoň v jednom cizím jazyce, |
| mgr. studium: plánují, podporují a řídí s využitím teoretických poznatků oboru získávání dalších odborných znalostí, dovedností a způsobilostí ostatních členů týmu, |
| Vyučovací metody |
|---|
| Odborné znalosti |
|---|
| Přednáška založená na výkladu, |
| Výuka podporovaná multimédii, |
| Odborné dovednosti |
|---|
| Samostatná práce studentů, |
| Cvičení (praktické činnosti), |
| Obecné způsobilosti |
|---|
| Samostudium, |
| Hodnotící metody |
|---|
| Odborné znalosti |
|---|
| Ústní zkouška, |
| Písemná zkouška, |
| Odborné dovednosti |
|---|
| Písemná zkouška, |
| Obecné způsobilosti |
|---|
| Ústní zkouška, |
|
Doporučená literatura
|
-
Úvod do funkcionální analýzy.
-
Drábek, Pavel; Kufner, Alois. Úvod do funcionální analýzy. 1. vyd. Plzeň : ZČU, 1994. ISBN 80-7082-124-8.
-
Kolmogorov, A. N.; Fomin, S.V. Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy. Vyd. 1. Praha : SNTL, 1975.
-
Kreyszig, E. Introductory functional analysis with applications. New York, 1989. ISBN 0-471-50459-9.
-
Kufner, Alois. Geometrie Hilbertova prostoru. Vyd. 1. Praha : SNTL, 1973.
|