|
Lecturer(s)
|
|
|
|
Course content
|
1. Linear space, metric, norm of linear space. 2. Scalar product, unitary space, Schwarz inequality. 3. Complete metric space, Banach space. 4. Embeding, Banach contraction theorem. 5. Basic function and sequence spaces. 6. Linear functional, dual space. 7. Weak convergence, reflexive space. 8. Hilbert space, Riesz theorem. 9. Basic properties of operators, linear operator. 10. Eigenvalues and eigenvectors, spectrum of linear operator. 11. Adjoint operator, compact operator.
|
|
Learning activities and teaching methods
|
Multimedia supported teaching, Lecture, Practicum
- Contact hours
- 65 hours per semester
- Preparation for formative assessments (2-20)
- 10 hours per semester
- Preparation for an examination (30-60)
- 35 hours per semester
- Preparation for comprehensive test (10-40)
- 20 hours per semester
|
| prerequisite |
|---|
| Knowledge |
|---|
| definovat a vysvětlit základní pojmy diferenciálního a integrálního počtu funkce více proměnných (v rozsahu předmětu KMA/M2) |
| rozumět základním principům z oblasti obyčejných diferenciálních rovnic (počáteční a okrajové úlohy pro ODR 1. a 2. řádu, existence řešení, základní metody řešení) |
| rozumět základním principům z oblasti teorie funkčních řad |
| definovat a vysvětlit základní pojmy diferenciálního a integrálního počtu funkce jedné proměnné (v rozsahu předmětu KMA/M1) |
| Skills |
|---|
| spočítat parciální derivace a derivace podle vektoru funkcí více proměnných |
| vyřešit ODR 1. řádu se separovatelnými proměnnými |
| derivovat a integrovat funkce jedné proměnné |
| spočítat dvojný, příp. trojný integrál |
| vyřešit počáteční úlohy pro lineární ODR 1. a 2. řádu |
| Competences |
|---|
| N/A |
| learning outcomes |
|---|
| Knowledge |
|---|
| zformulovat Rieszovu větu o reprezentaci spojitého lineárního funkcionálu |
| definovat a uvést příklady kompaktního, duálního a samoadjungovaného operátoru |
| zavést ortonormální systém a Fourierovu řadu na Hilbertově prostoru |
| zformulovat větu o minimu kvadratického funkcionálu |
| definovat duální prostor, reflexivní prostor, slabou konvergenci a zformulovat Eberleinovu-Šmuljanovu větu |
| zavést prostor spojitě diferencovatelných funkcí, prostor spojitých funkcí s kompaktním nosičem, Sobolevovy prostory |
| definovat a na příkladech vysvětlit pojmy otevřená, uzavřená množina, úplný prostor, kompaktní prostor, separabilní prostor, Banachův a Hilbertův prostor |
| definovat metrický, normovaný, unitární prostor a uvést jejich příklady |
| Skills |
|---|
| formulovat, dokázat a aplikovat Banachovu větu o kontrakci |
| zformulovat a dokázat Schwarzovu nerovnost |
| dokázat, že vlastní čísla symetrického operátoru na Hilbertově prostoru jsou reálná a odpovídající vlastní vektory jsou kolmé |
| zformulovat a dokázat Minkowského a Hölderovu nerovnost |
| Competences |
|---|
| N/A |
| N/A |
| teaching methods |
|---|
| Knowledge |
|---|
| Lecture |
| Multimedia supported teaching |
| Skills |
|---|
| Individual study |
| Practicum |
| Competences |
|---|
| Self-study of literature |
| assessment methods |
|---|
| Knowledge |
|---|
| Oral exam |
| Written exam |
| Skills |
|---|
| Written exam |
| Competences |
|---|
| Oral exam |
|
Recommended literature
|
-
Úvod do funkcionální analýzy.
-
Drábek, Pavel; Kufner, Alois. Úvod do funcionální analýzy. 1. vyd. Plzeň : ZČU, 1994. ISBN 80-7082-124-8.
-
Kolmogorov, A. N.; Fomin, S.V. Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy. Vyd. 1. Praha : SNTL, 1975.
-
Kreyszig, E. Introductory functional analysis with applications. New York, 1989. ISBN 0-471-50459-9.
-
Kufner, Alois. Geometrie Hilbertova prostoru. Vyd. 1. Praha : SNTL, 1973.
|